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ISSN : 1598-4095(Print)
ISSN : 2287-7401(Online)
Journal of The korean Association For Spatial Structures Vol.19 No.2 pp.101-108
DOI : https://doi.org/10.9712/KASS.2019.19.2.101

Intrinsic Mode Function and its Orthogonality of the Ensemble Empirical Mode Decomposition Using Orthogonalization Method

Sudeok Shon*, Junhong Ha**, Bijaya P. Pokhrel***, Seungjae Lee****
*Dept. of Architectural Eng., Koreatech University
***Dept. of Architectural Eng., Koreatech University
****Dept. of Architectural Eng., Koreatech University
교신저자, 정회원, 한국기술교육대학교 교양학부 교수, 이학박사 Liberal arts, Koreatech University Tel: 041-640-8612 Fax: 041-640-8555 E-mail: hjh@koreatech.ac.kr
May 9, 2019 May 31, 2019 June 5, 2019

Abstract


In this paper, the characteristic of intrinsic mode function(IMF) and its orthogonalization of ensemble empirical mode decomposition(EEMD), which is often used in the analysis of the non-linear or non-stationary signal, has been studied. In the decomposition process, the orthogonal IMF of EEMD was obtained by applying the Gram-Schmidt(G-S) orthogonalization method, and was compared with the IMF of orthogonal EMD(OEMD). Two signals for comparison analysis are adopted as the analytical test function and El Centro seismic wave. These target signals were compared by calculating the index of orthogonality(IO) and the spectral energy of the IMF. As a result of the analysis, an IMF with a high IO was obtained by GSO method, and the orthogonal EEMD using white noise was decomposed into orthogonal IMF with energy closer to the original signal than conventional OEMD.



직교화 기법을 이용한 앙상블 경험적 모드 분해법의 고유 모드 함수와 모드 직교성

손 수 덕*, 하 준 홍**, 비 자야 P. 포크렐***, 이 승 재****
*정회원, 한국기술교육대학교 건축공학과 연구교수, 공학박사
***정회원, 한국기술교육대학교 건축공학과, 공학박사
****정회원, 한국기술교육대학교 건축공학과 교수, 공학박사

초록


    National Research Foundation of Korea
    NRF-2016R1D1A1B03931154

    1. 서론

    공학 문제에서 구조물의 동적 응답이나 모니터링 신호 데이터(Signal data) 등은 푸리에(Fourier)나 웨이블릿(Wavelet) 변환을 이용해 분석한다. 최근에 는 지진파와 같이 순간적인 비선형(Nonlinear) 또는 비정상(Non-stationary) 신호 분석을 위한 한 방안 으로 경험적 모드 분해(Empirical Mode Decomposition, EMD) 기법이 등장해 많이 활용되 고 있다. 힐베르트 스펙트럼(Hilbert spectral) 해석 과 EMD에 기초한 힐베르트-후왕 변환 (Hilbert-Huang Transformation, HHT)은 Huang et al.(1998)에 의해 발표되어 바람과 지진파 같은 자연 현상의 신호 분석에 처음 사용되었으며 오늘 날까지 기법이 보완되고 있다1-3). 특히 시계열 응답 이 지진파와 같은 비정상 신호이거나 순간 주파수 변화가 심한 구조물의 움직임에 대해서 동적 분석 을 하는 경우에 적용될 수 있으며, 지반의 움직임과 상태를 예측하고 이들의 물리적 파라메타를 추정하 는 방법에서 많이 적용되고 있다. 이외에도 HHT는 여러 방법을 통해 그 적용 범위가 확장되고 있다.

    이 방법은 기본적으로 EMD 기법을 이용해 고유 모드 함수(Intrinsic Mode Function, IMF)로 분해하 여 스펙트럼 해석을 한다. 이때 분해된 고유 함수는 포락 곡선(Enveloped function)을 이용하며, 분해된 IMF의 합은 원래의 데이터로 복원된다. 특히 IMF 는 각 주기에서 영-교차(Zero-crossing)하며, 복잡한 파형을 내포하지 않는 진동 성분으로 분해된다. 그 러나 모드-믹싱(Mode-mixing)의 경우 고전적인 EMD로는 쉽게 분해되지 않기 때문에 백색잡음 (White noise)을 이용한 효과적인 모드 분해법인 EEMD(Ensemble EMD)가 개발되었다4). 이후 CEEMD(Complete EEMD) 등의 다양한 백색잡음 을 이용한 분해법이 나타났고, 공학과 자연 과학의 다양한 분야에서 적용되었다5-8). 그러나 EMD에 의 해 분해된 IMF들은 실제적인 의미에서 직교성을 만 족한다고 가정할 수 있지만 이론적으로는 그렇지 않다1),9). 구해진 IMF들의 에너지 합이 전체 에너지 와 동일할 경우 직교성을 가진다는 이론에서 출발 한 방법도 수렴 조건을 표준 편차(Standard deviation)로 대신 이용하는 방법으로 EMD에 적용 되었고, 직교화(Orthogonalization) 기법을 EMD에 이용한 OEMD (Orthogonal EMD)도 개발되었다9),10). 이러한 까닭에 분해된 IMF의 직교성과 스펙트럼 에 너지 간의 차이를 좁히는 것은 IMF의 특성을 결정 짓고 HHT의 분석 결과에 영향을 주는 연구 주제 중 하나이다.

    따라서 본 연구에서는 EEMD를 대상으로 직교화 한 IMF의 직교성과 스펙트럼 에너지의 특성을 비교 하였다. 그람-슈미트(Gram-Schmidt, G-S) 직교화 기법을 적용한 EMD와 EEMD의 차이를 비롯하여 IMF의 직교성을 나타내는 직교 지표(Index of Orthogonality, IO)를 비교하였으며, OEMD와 제안 된 직교화 EEMD 간의 에너지 변화를 살펴봄으로 써 원 에너지에 가장 근접한 방법이 무엇인지 알아 보았다. 논문 구성은 2장에서 EMD, EEMD, IO 및 직교화 IMF를 다루었다. 3장에서 해석적 예제와 El Centro 지진파를 대상으로 모드 분해하여 비교하였 으며, 이를 토대로 4장에서 결론을 도출하였다.

    2. EMD와 EEMD

    체거름 알고리즘(Shifting algorithm)을 이용해 분 해하는 EMD는 일련의 IMF와 잔여(Residue)로 분 해된다. 이 과정에서 백색잡음을 이용해 분해하는 EEMD와 대칭잡음을 통한 분해 기법 CEEMD가 개 선되었다. 개선된 기법은 EMD에 비해 모드-믹싱 문제를 잘 해결할 수 있지만 분해 속도가 느려지는 단점이 있다. 그 외에도 다양한 분해법과 특성이 있 으나 본 논문에서는 EMD와 EEMD만 다루도록 한다.

    2.1 EMD

    EMD는 데이터의 극점을 이용한 포락 곡선으로 부터 평균한 신호를 구하는 것으로 잔여 함수가 조 건에 부합될 경우 분해를 멈춘다. 체거름 과정에서 포락 곡선은 주로 3차 스플라인(Cubic spline)이 적 용되며, 이 과정을 계속하여 IMF를 구한다. 이를 요 약하여 설명하면 다음과 같다.

    • ① 시그날 x(t)의 극점과 포락 곡선 생성

    • ② 국지 평균 m(t) = 0.5(emax + emin) 계산

    • ③ 변조된 진동 d(t) = x(t) - m(t) 계산

    • d(t)가 조건을 만족하면 IMF Ci(t)로 정의

    • ⑤ 잔여 함수가 단조 함수가 될 때까지 반복

    이와 같은 IMF들로 원래의 데이터를 표현하면,

    x ( t ) = i = 1 n { C i ( t ) + R ( t ) } = i = 1 n + 1 C i ( t )
    (1)

    여기서, Ci(t)는 i번째 IMF, R(t)는 잔여 함수이 며 R(t) = Ci+1(t) 로 표현하기로 한다.

    2.2 EEMD

    EEMD 과정은 EMD 과정에 백색잡음을 추가하 여 분해하는 것으로 간단히 표현하면 다음과 같다.

    • ① 백색잡음 Ni(t)를 첨가: xi(t) = x(t) + αNi(t)

    • ② EMD 기법을 이용해 IMF들을 분해

    • ③ ①, ②단계를 각각의 시간에 따라 모드-믹싱을 최소로 하는 백색잡음으로 반복 계산

    • ④ 최종 결과로 분해된 상응하는 IMF 평균을 얻음

    EEMD는 시행된 EMD의 합산으로도 생각할 수 있다. 백색잡음을 N 번 추가해 관찰된 EMD의 i = 1..N 의 IMF di,j를 얻을 수 있으며, 원 신호에 대한 실제 IMF djN → ∞에 대한 평균으로 다음 과 같이 정의할 수 있다.

    d j ( t ) = lim N 1 N i = 1 N d i , j , j = 1 , , n
    (2)

    최종적으로 N 개의 IMF로 앙상블 경향을 얻으며, 이들의 평균으로 백색잡음을 제거할 수 있게 된다. EMD 반복 단계의 횟수는 초기에 유한값으로 정의 하여 분해한다. 또한 첨가된 잡음의 진폭이 작으면 모드-믹싱을 해결하지 못할 가능성이 있고, 진폭이 크면 모드-믹싱은 해결되나 오차가 커질 수 있다11).

    2.3 직교성과 G-S 직교화 IMF

    EMD나 EEMD에서 분해된 IMF의 직교성은 직관 적인 지표로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 직 교 분해된다면 직교 지표 IO는 “0”이다1),8).

    IO = t = 0 T ( j = 1 n + 1 k = 1 n + 1 C j ( t ) C k ( t ) / x 2 ( t ) )
    (3)

    또한 IMF 구성 성분 중 두 모드 Cf 와 Cg 의 직교 지표는 다음과 같이 정의한다1),8).

    IO f g = t = 0 T C f C g C f 2 + C g 2
    (4)

    만약 모드 함수가 같은 경우인 f = g 라면 직교 지표 IO f g = IO f f ( or  g g ) 는 0.5가 된다. 위의 지표에 대해서 IMF의 직교 정도를 판단할 수 있으며, 스펙 트럼 에너지가 최소를 갖는 분해 방법을 얻기 위해 서 G-S 직교화 기법을 적용하도록 한다.

    EMD로부터 구한 IMF Ci의 일차 결합으로 직교 IMF Ci로 구성된 직교계를 구할 수 있다. 첫 번째 C1 을 직교 모드 C1 로 두고 다음과 같이 전개한다.

    C ¯ 1 = C 1 C ¯ 2 = C 2 c 1 C ¯ 1 C ¯ n + 1 = C n + 1 i = 1 n c i C ¯ i
    (5)

    여기서, ci는 직교계가 일차 독립일 계수 함수이 며, 각 성분이 직교인 계수 값은 다음과 같다.

    c = ( C ¯ i , C n ) C ¯ i 2 = 0 T C ¯ i C n d t 0 T C ¯ i 2 d t
    (6)

    여기서, (Ci, Cn는 시간 [0,T] 에서 함수 Ci(t) 와 Cn(t)의 내적(Inner product)이며, 위 식을 계산 하여 식 (5)에 대입해 직교 IMF를 구한다.

    3. 시계열 데이터의 직교 모드 분해

    본 장에서는 시계열 데이터를 대상으로 직교화한 모드 분해와 분해 결과를 비교한다. 해석 대상 예제 는 지수 함수로 구성된 함수와 El Centro 지진파이다.

    3.1 해석적 테스트 함수

    테스트 대상 함수는 식 (7)과 같고, 샘플링 주파수 fs =1024, 샘플링 주기 dt = 1/fs = 9.7656e - 04, 시간 영역은 0 ≦ t ≦ 1이며, <Fig. 1>과 같은 파형 의 예제이다.

    x ( t ) = i = 1 4 exp { 5 ( i 1 ) 10 2 ( t i 5 ) 2 }
    (7)

    대상 파형의 EMD 분해 결과는 <Fig. 2>와 같고, 직교화 분해 결과는 <Fig. 3>과 같다. 두 결과의 외 형적 파형은 유사하며 모드-믹싱 문제는 해결되지 않았다. 각 IO를 계산하여 <Table 1>과 <Table 2> 에 나타내었다. 표와 같이 직교화한 결과에서 IO가 더 작은 값으로 나타났다. 이중 가장 작은 값은 OIMF의 IO12 = 7.690E - 17로 나타났다.

    다음으로 EEMD의 IMF와 분해 결과로 직교화한 IMF를 <Fig. 4>와 <Fig. 5>에 나타내었다. 두 결과 모두 거시적인 분해 모드는 유사하게 나타났지만 직교화한 EEMD의 모드가 조금 더 거칠게 나타났 다. 그러나 두 분해 결과의 직교 지표 IO는 <Fig. 6> 과 <Fig. 7>에서 보는 바와 같이 차이가 발생한다. 즉 직교화 IMF가 더 작게 나타났다.

    EMD와 EEMD의 직교화 결과에 대해서 원 데이터 의 에너지와 비교해 차이를 <Table 3>과 <Table 4> 에 나타내었다. 가장 차이가 많은 경우는 EMD로 55.53%이며, EEMD도 약 44.08% 오차가 발생한다. 그러나 직교화한 결과인 OEMD는 50.57%의 오차가 발생한 반면 OEEMD는 8.7%로 매우 근접한 에너 지 차이를 보이고 있다. 따라서 본 대상 테스트 함 수는 직교화를 통해 직교성이 높은 IMF를 얻을 수 있었고, OEEMD의 결과가 가장 근접한 에너지를 얻는 방법으로 나타났다.

    3.2 El Centro 지진파

    본 절에서는 <Fig. 8>에서 보는 바와 같은 N-S 방향 El Centro 지진파의 모드 분해를 수행하였다. 데이터 샘플링 주기 dt 는 0.2sec 이며, 시간 영역 은 0 ≦ t ≦ 31.2이다.

    대상 파형의 EMD 분해 결과는 <Fig. 9>와 같고, 직교화 분해 결과는 <Fig. 10>과 같다. 모두 10개의 IMF로 분해되었으나 그림에는 5개의 모드만 나타 내었다. 앞서 다룬 해석적 함수의 결과와 유사하게 외형적 파형은 EMD의 IMF와 직교화한 IMF가 거 의 유사하게 나타났다.

    직교 지표 IO의 계산 결과는 <Fig. 11>과 <Fig. 12> 에 나타낸 바와 같고 각각 EMD로 구한 IMF와 직 교화한 IMF의 직교 지표이다. 그림에서 보는 것과 같이 직교화한 경우가 더 낮게 나타났다.

    다음으로 EEMD의 모드 분해와 직교화한 EEMD 의 분해 결과를 <Fig. 13>과 <Fig. 14>에 나타내었 다. 각 그림에서 보는 바와 같이 분해된 결과는 모 드 파형의 거시적인 차이는 없으나 직교화한 IMF의 파형이 거칠게 나타났다.

    직교 지표 IO의 계산 결과는 <Fig. 15>와 <Fig. 16> 과 같이 직교화한 경우의 지표가 더 낮게 나타났다. 이는 EMD의 IMF를 직교화한 결과와 비교해서 큰 차이가 없다. 즉, EMD나 EEMD로 분해된 IMF의 직교화 결과는 둘 다 직교성이 높은 것으로 판단된 다. <Fig. 11>과 <Fig. 12>에서 보는 바와 같이 EMD는 10개의 모드로 분해되었으나 EEMD와 직 교화한 경우는 12개의 모드로 분해되었다. 여기서 마지막 모드는 잔여 모드에 해당된다. 각각의 결과 에서 직교 지표는 EEMD가 높게 나왔으나 직교화 한 IMF는 직교 지표가 낮은 상태로 분해될 수 있음 을 보여준다.

    El Centro 지진파의 EMD와 EEMD의 직교화 분 해 결과에 대해서 원래 데이터의 에너지와 비교해 그 차이를 <Table 5>와 <Table 6>에 나타내었다. EMD가 38.716%로 가장 큰 차이가 났으며, EEMD 도 약 32.42% 오차가 발생하였다. 그러나 직교화한 결과인 OEMD는 0.967%의 오차가 발생하였고, OEEMD는 -1.28 × 10-6%로 거의 일치하는 에너 지의 차이를 보이고 있다. 원래 데이터의 경우 에너 지가 5.846인 반면 OEEMD는 5.844의 값으로 나타 났다. 따라서 El Centro 지진파도 앞서 다루었던 해 석적 테스트 예제와 같이 G-S 직교화를 통해 직교 성이 높은 IMF를 얻을 수 있었으며, EEMD의 직교 화한 결과가 원래의 파형에 가장 근접한 에너지를 얻는 분해 방법으로 나타났다.

    4. 결론

    본 논문에서는 비선형 및 비정상 데이터를 분석 하는 방법인 EMD와 EEMD의 직교화한 IMF 분해 특성을 연구하였다. 모드 분해에서 G-S 직교화가 적 용되었으며, 대상 신호는 해석적 함수와 El Centro 지진파를 채택하였고, IMF의 직교 지표 IO와 에너 지를 계산하였다. 분해한 결과로 볼 때 EMD나 EEMD의 결과보다 직교화한 EEMD의 IMF IO가 높게 나타났으며, OEMD와 같이 직교화한 EEMD 에서도 높은 값을 얻었다. 데이터의 전체 에너지에 가장 가까운 값은 직교화한 EEMD에서 나타났으며, 해석 대상 함수 모두 높게 나타났다. 이러한 결과는 G-S 직교화 기법으로 직교 지표가 높은 IMF를 얻 을 수 있고, 기존의 EMD보다 백색잡음을 이용한 EEMD의 직교화 방법이 원래의 신호에 더 가까운 에 너지를 갖는 직교 IMF로 분해된다는 것을 보여준다.

    감사의 글

    본 논문은 2016년도 정부(미래창조과학부)의 재원으 로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사 업임(NRF-2016R1D1A1B03931154).

    Figure

    KASS-19-2-101_F1.gif

    Example of test signal

    KASS-19-2-101_F2.gif

    IMF of test example (EMD)

    KASS-19-2-101_F3.gif

    Orthogonal IMF of test example (EMD)

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    IMF of test example (EEMD)

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    Orthogonal IMF of test example (EEMD)

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    Index of orthogonality of IMFs of test signal (EEMD)

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    Index of orthogonality of orthogonality IMFs of test signal (EEMD)

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    El Centro (NS)

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    IMF of El Centro (EMD)

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    Orthogonality IMF of El Centro (EMD)

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    Index of orthogonality of IMFs of El Centro (EMD)

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    Index of orthogonality of orthogonality IMFs of El Centro (EMD)

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    IMF of El Centro (EEMD)

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    Orthogonality IMF of El Centro (EEMD)

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    Index of orthogonality of IMFs of El Centro (EEMD)

    KASS-19-2-101_F16.gif

    Index of orthogonality of orthogonality IMFs of El Centro (EEMD)

    Table

    Index of orthogonality of IMFs of test signal (EMD)

    Index of orthogonality of orthogonal IMFs of test signal (OEMD)

    IMF and orthogonal IMF energy results of test signal (EMD)

    IMF and orthogonal IMF energy results of test signal (EEMD)

    IMF and orthogonal IMF energy results of El Centro (EMD)

    IMF and orthogonal IMF energy results of El Centro (EEMD)

    Reference

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