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ISSN : 1598-4095(Print)
ISSN : 2287-7401(Online)
Journal of The korean Association For Spatial Structures Vol.18 No.3 pp.83-91
DOI : https://doi.org/10.9712/KASS.2018.18.3.83

Dynamic Stability and Semi-Analytical Taylor Solution of Arch With Symmetric Mode

Bijaya P. Pokhrel*, Sudeok Shon**, Junhong Ha***, Seungjae Lee****
*Dept. of Architectural Eng., Korea University of Technology and Education
***School of Liberal Arts, Korea University of Technology and Education
****Dept. of Architectural Eng., Korea University of Technology and Education
교신저자, 정회원, 한국기술교육대학교 건축공학과 연 구교수, 공학박사 Dept. of Architectural Eng., Korea University of Technology and Education Tel: 041-560-1334 Fax: 041-560-1224 E-mail: sdshon@koreatech.ac.kr
June 29, 2018 July 17, 2018

Abstract


In this study, we investigated the dynamic stability of the system and the semi-analytical solution of the shallow arch. The governing equation for the primary symmetric mode of the arch under external load was derived and expressed simply by using parameters. The semi-analytical solution of the equation was obtained using the Taylor series and the stability of the system for the constant load was analyzed. As a result, we can classify equilibrium points by root of equilibrium equation, and classified stable, asymptotical stable and unstable resigns of equilibrium path. We observed stable points and attractors that appeared differently depending on the shape parameter h, and we can see the points where dynamic buckling occurs. Dynamic buckling of arches with initial condition did not occur in low shape parameter, and sensitive range of critical boundary was observed in low damping constants.



대칭 모드 아치의 준-해석적 테일러 해와 동적 안정성

비 자야 P. 포크렐*, 손 수 덕**, 하 준 홍***, 이 승 재****
*학생회원, 한국기술교육대학교 건축공학과, 박사과정
***정회원, 한국기술교육대학교 교양학부 교수, 이학박사
****정회원, 한국기술교육대학교 건축공학과 교수, 공학박사

초록


    National Research Foundation of Korea
    2016R1D1A1B03931154 National Research Foundation of Korea
    2017R1D1A1B03031451 Ministry of Land, Infrastructure and Transport
    18AUDP-B100343-04

    1. 서론

    긴 경간의 지붕 구조는 일반적으로 아치나 구형 쉘과 같이 설계되는데 이것은 구조물의 성능이 형 태에 영향을 많이 받는다는 것을 말해주는 것이기 도 하다. 이러한 까닭에 판으로 지붕을 덮는 것보다 재료적으로 더 얇고 가볍게 큰 공간을 만들 수 있 다. 특히 얕은 아치(Shallow arches)는 아름답고 경 제적이어서 과거부터 많은 관심을 받고 있다. 그러 나 역학적 흐름은 편평한 부재와는 많이 다를뿐더 러 구조 설계 또한 다양한 동적 안정성(Dynamic stability)을 관찰해 봐야만 한다.

    아치의 동적인 불안정 거동은 일반적으로 초기 조건(Initial condition)과 형상의 기하학적인 불완전 성(Geometrical imperfection)에 따라 복잡하게 나 타나며, 대칭(Symmetric) 모드와 비대칭(Asymmetric) 모드에 대한 민감한 불안정 거동은 직접(Direct) 좌 굴과 간접(Indirect) 좌굴로 분류된다. 아치의 동적 불안정에 대한 연구는 1950년대 초 Hoff & Bruce (1954)의 논문1)으로부터 시작되었고, 초기에 많은 연구 결과들2-4)이 발표되었다. 아치 연구는 이들의 연구를 바탕으로 카오스(Chaotic motion), 전역 (Global) 동적 거동, 정밀한 해의 연구, 공진 현상, 경계 조건과 이동 하중에 대한 좌굴, 스펙트럼 해석 등의 주제5-8)로 계속 진행되었다. 최근에는 시스템 동정(Identification)과 안정성, 포물선 아치, 민감성, 능동적 진동 제어 등이 연구9),10)되고 있다. 이처럼 아치에 대한 초기치나 경계치 문제의 해석 방법과 불안정성에 대한 다양한 관점에서의 접근은 여전히 공학자들의 관심이 되고 있다.

    아치의 동적 좌굴은 위상 공간(Phase space)을 관 찰하거나 시계열 응답을 구하여 미세한 파라메타의 변화에 대한 반응을 관측함으로 임계값을 구할 수 있다11),12). 이 과정에서 비선형 지배방정식은 주로 수치적(Numerical) 해법이나 해석적(Aanalytical) 해법으로 풀어나간다13). 그러나 비선형 시스템의 해 에 대한 해석적 정해를 구하는 것은 까다롭기 때문 에 수치적 접근이 많았고, 해석적 접근이나 준-해석 적(Semi-analytical) 해법을 적용하여 문제를 풀고 평형점이나 동적 안정성을 연구한 경우는 그리 많 지 않았다.

    해석적 또는 준-해석적 해를 얻는 방법은 과거부 터 많은 시도가 있었다. 테일러 급수 해법, 미분 변환 (Differential transformation) 해법, 아도미안 분해 (Adomian decomposition) 해법, 호모토피 해석, 호 모토피 섭동(Perturbation)법 Duan–Rach 접근법, 등이 있으며14-20), 여기서 Duan–Rach 접근법은 아도 미안 분해법의 일종이다. 수치 기법과는 달리 이들 의 적용성과 파라메타의 의존성은 한계가 있으나, 테일러 해법의 경우 기법의 우수한 안정성과 정밀 도가 많이 검증되었다. 특히 테일러 해법이나 이를 응용한 기법들은 차수와 시간을 분할하여 더 우수 하고 유용한 결과를 얻을 수 있고, 시간 영역이 긴 시뮬레이션에서도 고정도 준-해석적 해를 얻을 수 있는 장점이 있다14),21),22).

    본 연구에서는 아치의 안정성 연구를 위해 준-해 석적 해법을 적용하여 결과를 관찰하고 분석해 보 기로 한다. 적용되는 해법은 고차 테일러 해법을 사 용하며, 동적 시스템의 분석을 위해서 아치의 1차 대칭 모드의 상태방정식에 대한 준-해석적 해를 구 하고, 평형 상태에 대한 불안정점을 관찰한다. 시스 템의 평형 상태와 외부 하중에 따른 구조 안정성을 조사하고 관찰하기 위해서 형상에 따른 임계 하중 레벨을 구하고, 초기 조건에 따른 점근적 안정 (Asymptotical stable) 상태의 끌개와 해의 지형을 살펴보도록 한다. 또한 외부 하중에 대한 감쇠정수 에 따른 임계점의 경계를 관찰하여 민감한 정도를 살펴보도록 한다. 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에 서는 지배방정식과 준-해석적 해법을, 3장에서는 시 스템의 평형 상태와 안정성을, 4장에서는 감쇠에 따 른 임계 경계를 다루고, 5장에서 결론을 제시한다.

    2. 1차 대칭 모드 아치의 지배방정식

    대칭 모드를 갖는 아치 모델에 대한 방정식을 얻 기 위해서 아치의 양단은 힌지, 거리는 L 인 아치를 고려하자. 원형상은 y0 (x)이고, 수직, 수평 변위는 각각 y(x, t) 와 u (x, t)이며, 수직 하중은 p(x, t)이 다. 여기서 시스템 상수는 각각 질량 ρ, 영계수 E , 단면적 A (x ), 단면 2차 모멘트 I(x )이다.

    아치의 운동에너지 T와 변형에너지 U 는 다음 식과 같다. 여기서 Ua 와 Ub는 각각 축력과 휨에 대 한 변형에너지이다.(1)(2)

    T = ρ A 2 0 L ( y t ) 2 dx
    (1)

    U = U a  + U b = EA 2 0 L 0 2 dx + EI 2 0 L κ 2 dx
    (2)

    여기서 축 변형 є0 와 곡률 κ를 Green의 변형텐 서를 이용해 표현하면 다음 식과 같다.(3)(4)

    0 = u x + y 0 x y x + 1 2 ( y x ) 2
    (3)

    κ = 2 y x 2
    (4)

    아치에 작용하는 힘 p(x, t) 와 균일한 점성 감쇠 력에 따른 외부 일을 다음 식과 같이 표현한다.(5)

    W nc  = W d  - W ext = 0 L c y t ydx + 0 L pydx
    (5)

    여기서 c는 감쇠계수이다. 이제 축력 N 이 상수임 을 고려하면 N′ = 0이고, x = 0, L 에서 경계 조건 은 u (0) = u (L) = 0이다. 따라서 N (x )는 다음 식 과 같이 표현할 수 있다.(6)

    N = EA 2L 0 L ( 2 y 0 x y x + ( y x ) 2 ) dx
    (6)

    U , T, Wnc의 변분을 각각 구하면 다음과 같다.(8)

    δ T = - ρ A 0 L 2 y x 2 δ ydx
    (7)

    δ ( U a + U b ) = 0 L N ( 2 y 0 x 2 + 2 y x 2 ) δ ydx 0 L p δ ydx
    (8)

    δ W nc = 0 L c y x δ ydx + 0 L p δ ydx
    (9)

    확장된 Hamilton의 원리에 의해 다음의 식 (10) 을 얻을 수 있다.

    t 1 t 2 δ T - δ ( U a + U b ) + δ W nc dt = 0
    (10)

    식 (7)~(9)를 위 식에 대입하여 정리하면,(11)

    EI 4 y x 4 [ E A 2 L 0 L { ( y x ) 2 + 2 y 0 x y x } d x ] · ( 2 y 0 x 2 + 2 y x 2 ) + c y t + ρ A 2 y t 2 p = 0
    (11)

    무차원화를 위해 파라메타를 다음과 같이 정의한 다. 여기서 k 는 단면 2차 반경이다.(12)

    η 0 = y 0 k , η = y k , q = p EIk ( L π ) 4 , τ = ω 0 t , ω 0 = ( π L ) 2 ( EI ρ A ) 1 2 , γ = c ρ A ω 0
    (12)

    위 파라메타를 이용하면 ξ로 표현된 무차원화 시 스템을 다음과 같이 얻을 수 있다.

    4 η ξ 4 [ 1 2 π 0 π { ( η ξ ) 2 + 2 η 0 ξ η ξ } d ξ ] · ( 2 η 0 ξ 2 + 2 η ξ 2 ) + γ η t + η t 2 q = 0
    (13)

    아치의 초기 형상 η0 , 변형 η 및 하중 q 의 기저들 을 다음과 같이 정의하고, η 는 변형된 형상의 경계 를 만족하는 y(0 ) = y(L) = 0 , y″(0) = y″(L) = 0 로 가정한다.(14)

    η 0 = h sin ξ η = i = 0 N D i sin ( i ξ ) , q = Λ sin ξ
    (14)

    위 식을 식 (13)에 대입하여 정리하면 변위함수의 계수 Dn의 상태방정식을 얻을 수 있다. 여기서, δij 는 크로네커 델타이다.

    D ¨ j = Λ δ i j γ D ˙ j j 4 D j 1 4 ( i = 1 N i 2 D i 2 2 hD 1 ) ( h δ 1 j + j 2 D j 2 ) j = 1 , 2 , ,
    (15)

    위 방정식으로 변위 성분별 아치의 거동을 관찰 할 수 있으며, D1 은 대칭 모드의 최저차성분이고, D2는 비대칭 모드의 성분이 된다. 본 논문에서는 <Fig. 1>과 같은 1차 대칭 모드에 관해서만 준-해석 적 해와 동적 안정성에 대해서 다루도록 한다.

    식 (15)를 이용해 1차 대칭 모드에 대한 지배방정 식을 얻으면 다음과 같다.

    D ¨ 1 + γ D ˙ 1 + ( 1 + h 2 2 ) D 1 + 3 4 hD 1 2 + 1 4 D 1 3 = Λ
    (16)

    위 식은 초기치 D ˙ 1 ( t 0 ) = D ˙ 0 및 D1 (t0 ) = D0 에 대한 문제이며, 이 조건과 무한급수 해 또는 테일러 급수로 해를 가정하여 각 항별로 계산하면 차수에 따른 준-해석적 해를 구할 수 있다. 우선 초기치 문 제의 근사는 다음과 같이 정의할 수 있다.

    D ¨ = f ( t , D ˙ , D ) , t I, D=D ( t ) R n
    (17a)

    D ( t 0 ) =D 0 , D ˙ ( t 0 ) =D 1
    (17b)

    여기서, I는 t0 을 포함하는 개구간(Open interval) 이고, f 는 I × Rn× Rn에서 Rn 으로의 함수이다. 만 약 f 가 정의역에서 해석적 함수라고 가정하면, D(t) 는 다음과 같은 급수해 즉, n항까지의 급수항 과 나머지 항의 합으로 표현할 수 있다.

    D ( t ) =D ( n;t,t 0 ) + R ( n;t,t 0 ) = k = 0 n D ( k ) ( t 0 ) k ! ( t t 0 ) k + D ( n + 1 ) ( c * ) ( n + 1 ) ! ( t t 0 ) n + 1
    (18)

    일반적으로 n차원 테일러 다항식 D(n;t,t0) 은 초 기값 문제의 근사해로 사용될 수 있으나 구간에 따 른 오차로 다분할 해법 정의를 한다. 이를 위해 폐 구간 I 를 동일한 구간으로 분할하고, t0 = t0i 중심 으로 테일러 급수해 D (t)를 구하여 정의한다. 단, 각 미분계수 D(k) (t0i) 는 구간 Ii-1에서 구한 값을 사용한다. 또한 D(n;t,t0i ) 을 구간 Ii 위에서 근사해 로 사용할 경우 R(n;t,t0i ) 가 제거되므로 다음과 같 은 식으로 오차를 평가한다.(19)

    | R ( n;t,t i0 ) | max | D ( n + 1 ) ( t ) | t h n + 1 ( n + 1 ) ! , t I i
    (19)

    따라서 차수 n 과 분할 간격 th 를 오차의 허용 한 도 내에서 근사적으로 계산하여 필요한 해를 구한다.

    식 (16)을 보다 쉽게 나타내기 위해서 D1= υ - h라 하면 다음과 같다.

    υ ¨ + γ υ ˙ + 1 4 υ + ( 1 h 2 4 ) υ h = Λ
    (20)

    식 (18)과 시간에 관한 무차원화 파라미터 τ = τ0 일 때의 초기치를 각각 υ (τ0) = υ0 υ ˙ ( τ 0 ) = d o t υ 0 라 할 때, 해의 처음 두 항은 각각 식 (21a) 및 식 (21b) 가 된다. 각각의 초기치를 다시 대입하여 해를 순차 적으로 정리하면 차수가 더 높은 결과를 얻을 수 있 으며, 식 (21)과 같다.

    υ ( 0 ) ( τ 0 ) = υ 0
    (21a)

    υ ( 1 ) ( τ 0 ) = d o t υ 0
    (21b)

    υ ( 2 ) ( τ 0 ) = γ d o t υ 0 { 1 4 υ 0 3 + ( 1 h 2 4 ) υ 0 h Λ }
    (21c)

    υ ( 3 ) ( τ 0 ) = γ [ γ d o t υ 0 { 1 4 υ 0 3 + ( 1 h 2 4 ) υ 0 h Λ } ] 3 4 υ 0 2 d o t υ 0 ( 1 + h 2 4 ) d o t υ 0 υ ( 4 ) ( τ 0 ) =
    (21d)

    본 논문에서는 충분히 큰 값의 차수와 분할 간격 을 이용하여 해석을 수행하도록 하며, 평형 상태에 서 나타난 동적 불안정성과 비교하여 그 값을 살펴 보도록 한다.

    3. 대칭 모델의 평형점

    시스템의 안정성(Stability)을 살펴보기 위해서 식 (20)을 1계 상태( υ ˙ = z )로 변환하면, 다음 식과 같 다. 여기서 평형점(Equilibrium point)은 z = 0, z ˙ = 0 에서 얻을 수 있다.

    υ ˙ = z z ˙ = γ z { 1 4 υ 3 + ( 1 h 2 4 ) υ h Λ }
    (22)

    시스템은 야코비안 행렬의 특성방정식으로 평형 점의 안정성을 평가할 수 있다. 우선 위 시스템의 안정성9)을 간략히 설명하기 위해 식 (22)에서 얻은 다음의 방정식을 살펴보자.(23)

    υ 3 + ( 4 h 2 ) υ = 4 ( h + Λ )
    (23)

    여기서, 좌변의 항을 f ( υ ) = υ { υ 2 + ( 4 h 2 ) } 라 두면, h에 따른 두 경우를 생각할 수 있다. 첫 번째 경우는 | h | ≤ 2 이며, 방정식은 하나의 실근만을 갖 고, 부호는 (h + Λ )와 같다. 두 번째는 | h | > 2 이며, f ( υ 0 ) = 0 υ0 ( h 2 4 ) / 3 로 존재한다. 이것 은 다음 식과 같은 국소 최소 및 국소 최대인 값을 가 지며, 평형 상태와 부호는 (h + Λ )에 의해 결정된다.(24)

    f ( υ 0 ) = ± 2 3 9 ( h 2 4 ) 3 2
    (24)

    식 (22)의 특성방정식으로부터 근(Root) υ ^ 에 대한 평형 상태 ( υ ^ , 0)의 안정성을 평가하면 다음과 같다.

    | h | ≤ 2 인 경우 평형점 ( υ ^ , 0 )는 유일하며, 점근 적 안정(Asymptotically stable) 상태이다. | h | > 2 인 경우는 4 | h + Λ | > f ( υ 0 ) 에서 ( υ ^ , 0 )는 점근적 안정이고, 4 | h + Λ | < f ( υ 0 ) 에서는 | υ ^ | > υ 0 를 만족 하는 2개의 ( υ ^ , 0 )가 점근적 안정 상태와 | υ ^ | < υ 0 를 만족하는 하나의 불안정 상태가 존재한다. 그리고 4 | h + Λ | = f ( υ 0 ) 에서는 2개의 평형점이 (- υ ^ , 0 )에 서는 안정점을, υ ^ > υ0인 ( υ ^ , 0)에서는 점근적 안정으 로 나타난다.

    수직 하중에 대한 아치인 h > 0, Λ ≤ 0의 조건에 서 볼 때, <Fig. 2>와 같이 평형점의 상태를 설명할 수 있다. 그림에서 보듯이 h = 2인 경우 불안정점은 나타나지 않고, h = 3인 경우 안정점이 Λ > 0에서 발생하기 시작하며, h = 4의 경우 Λ = 0인 지점에서 안정점이 나타난다. 형상 파라메타가 더 증가할 경 우 외력의 작용하에서 하중 레벨과 초기 조건에 따 라 두 점근적 안정점 중 하나로 이동할 것이다. 이 와 같은 분류의 상태를 알아보기 위해서 초기 조건 (Initial condition)에 따라 나타나는 확장된 위상 공 간에서 지형을 관찰하였고, <Fig. 3, 4>에 나타내었 다. <Fig. 3>은 h = 1, 3인 경우로 Λ = 0에서는 불안 정 경로가 없고 따라서 모든 초기 조건에도 불구하 고 하나의 상태로 이동한다. 그러나 <Fig. 4>는 h = 5, 7인 경우로 Λ = 0에서 초기 조건에 따라 점근 적 안정점인 두 점으로 수렴한다. 외부 하중이 없 는 상태에 대한 응답이 초기 조건에 따라 달라지는 형상 파라메타는 시스템의 안정성에서 구분한 바와 같고, 이것은 <Fig. 2>에서 살펴본 것과 같이 h가 4 이상에서 나타남을 <Fig. 3, 4>에서 확인할 수 있 다. 그러나 낮은 h의 영역에서도 미세한 진동은 이 어진다.

    이러한 결과에 대한 임계 하중 레벨을 통해 동적 좌굴의 발생 위치를 알아보도록 한다. <Fig. 5>에서 나타난 바와 같이 h = 2에서는 동적 좌굴이 발생하지 않지만 그 이상은 모두 나타난다. h가 증가할수록 그 값은 증가하며, 작은 하중 레벨의 변화에 큰 변위가 발생하는 곳이 임계 하중(Critical load)이다.

    4. 감쇠정수와 임계 경계

    본 장에서는 감쇠정수에 따른 동적 좌굴 하중과 점근적 안정점의 임계 경계에서 나타나는 민감한 변 화를 살펴보도록 한다. 우선 감쇠 시스템의 좌굴 하 중 레벨에 대한 해석 결과를 <Fig. 6>에 나타내었으 며, 비-감쇠 시스템인 <Fig. 5>보다 하중 파라메타별 로 높게 나타난다. 그림에서 보는 바와 같이 감쇠정 수의 영향으로 인한 임계 하중 레벨의 증가는 형상 파라메타의 증가에 따라 좌굴 하중 레벨도 같이 증 가하며, 이것은 비-감쇠 시스템의 특성과 동일하다. 또한 감쇠정수의 증가도 좌굴 하중 레벨이 증가된다. 감쇠정수에 대한 점근적 안정점을 관찰하기 위해서 대 칭되는 안정점의 경계를 구하여 <Fig. 7>에 나타내었 다. 두 영역으로 분명히 나뉘는 임계 경계는 좌굴 하 중 레벨과 마찬가지로 변화하지만 낮은 감쇠정수의 범위에서 민감한 영역의 변화가 나타난다.

    5. 결론

    본 논문은 얕은 아치의 준-해석적 해와 시스템의 동적 안정성에 관해 연구하였다. 외력을 받는 아치 의 1차 대칭 모드의 지배방정식을 유도하였고, 테일 러 급수를 이용한 해석적 해와 상수 하중에 대한 안 정성을 살펴보았다. 분석 결과를 통해서 평형점을 분류할 수 있는 다항식의 근으로 상태를 분류한 결 과, 형상 파라메타에 따라 안정, 점근적 안정, 불안 정한 구간을 분류할 수 있었다. 형상에 따라 다르게 나타나는 안정 상태와 끌개는 낮은 아치에서는 나 타나지 않는 불안정점이 형상 파라메타 h>2에서 나 타나기 시작했다. 초기 조건에 대한 정상 상태의 점 근적 안정점이 2개로 나뉘는 것은 h>4에서 나타났 으며, 외력이 발생하여 증가할수록 동적 좌굴이 발 생한다. 형상이 높을수록 임계 하중 레벨도 높아지 며, 감쇠정수의 증가도 임계 하중 레벨을 증가시킨 다. 안정 상태의 분류는 동적 좌굴의 발생과 구간을 알 수 있었으며, 임계 경계의 민감성은 낮은 감쇠정 수에서 관찰되었다. 대칭 모드에서의 아치는 주기외 력이나 비대칭 모드에 따라 그 변화가 다양하며, 계 속적인 연구가 필요한 것으로 판단된다.

    감사의 글

    이 논문은 2017년도 정부(미래창조과학부)의 재 원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 기초 연구사업(NRF-2016R1D1A1B03931154 & NRF- 2017R1D1A1B03031451)이며, 또한 국토교통부 도시건축연구사업의 연구비지원(18AUDP-B100343- 04)에 의해 수행되었습니다.

    Figure

    KASS-18-83_F1.gif

    Arch and 1st symmetrical mode

    KASS-18-83_F2.gif

    Equilibria under the excitations

    KASS-18-83_F3.gif

    Expended phase space (h = 1, 3)

    KASS-18-83_F4.gif

    Expended phase space (h = 5, 7)

    KASS-18-83_F5.gif

    Snapping load level

    KASS-18-83_F6.gif

    Snapping load level (γ = 0.1, 0.3)

    KASS-18-83_F7.gif

    Equilibrium points and critical boundary in accordance with γ

    Table

    Reference

    1. Hoff, N. J. , & Bruce, V. G. , “ Dynamic Analysis of the Buckling of Laterally Loaded Flat Arches ”, Journal of Mathematics and Physics, Vol.32, No.1-4, pp.276~288, 1954
    2. Humphreys, J. S. , “ On Dynamic Snap Buckling of Shallow Arches ”, AIAA Journal, Vol.4, No.5, pp.878~886, 1966
    3. Hsu, C. S. , “ Equilibrium configurations of a shallow arch of arbitrary shape and their dynamic stability character ”, International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol.3, No.2, pp.113~136, 1968
    4. Donaldson, M. T. , & Plaut, R. H. , “ Dynamic stability boundaries for a sinusoidal shallow arch under pulse loads ”, AIAA Journal, Vol.21, No.3, pp.469~471, 1983
    5. Blair, K. B. , Krousgrill, C. M. , & Farris, T. N. , “ Non-linear dynamic response of shallow arches to harmonic forcing ”, Journal of Sound and Vibration, Vol.194, No.3, pp.353~ 367, 1996
    6. Levitas, J. , Singer, J. , & Weller, T. , “ Global dynamic stability of a shallow arch by poincaré-like simple cell mapping ”, International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol.32, No.2, pp.411~424, 1997
    7. Bi, Q. , & Dai, H. H. , “ Analysis of non-linear dynamics and bifurcations of a shallow arch subjected to periodic excitation with internal resonance ”, Journal of Sound and Vibration, Vol.233, No.4, pp.553~567, 2000
    8. Chen, J. S. , & Lin, J. S. , “ Stability of a shallow arch with one end moving at constant speed ”, International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol.41, No.5, pp.706~715, 2006
    9. Ha, J. H. , Gutman, S. , Shon, S. D. , & Lee, S. J. , “ Stability of shallow arches under constant load ”, International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol.58, pp.120~127, 2014
    10. Virgin, L. N. , Wiebe, R. , Spottswood, S. M. , & Eason, T. G. , “ Sensitivity in the structural behavior of shallow arches ”, International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol.58, pp.212~221, 2014
    11. Lin, J. S. , & Chen, J. S. , “ Dynamic snap-through of a laterally loaded arch under prescribed end motion ”, International Journal of Solids and Structures, Vol.40, No.18, pp.4769~4787, 2003
    12. Budiansky, B. , & Roth, R. S. , “ Axisymmetric dynamic buckling of clamped shallow spherical shells ”, NASA TND-1510, pp.597~606, 1962
    13. Belytschko, T. , “ A survey of numerical methods and computer programs for dynamic structural analysis ”, Nuclear Engineering and Design, Vol.37, No.1, pp.23~34, 1976
    14. Barrio, R. , Blesa, F. , & Lara, M. , “ VSVO Formulation of the taylor method for the numerical solution of ODEs ”, Computers & Mathematics with Applications, Vol.50, No.1-2, pp.93~111, 2005
    15. Dogonchi, A. S. , Hatami, M. , & Domairry, G. , “ Motion analysis of a spherical solid particle in plane Couette Newtonian fluid flow ”, Powder Technology, Vol.274, pp.186~192, 2015
    16. Adomian, G. , & Rach, R. , “ Modified Adomian Polynomials ”, Mathematical and Computer Modeling, Vol.24, No.11, pp.39~46, 1996
    17. He, J. H. , “ Homotopy perturbation method: a new nonlinear analytical technique ”, Applied Mathematics and Computation, Vol.135, No.1, pp.73~79, 2003
    18. Chowdhury, M. S. H. , Hashim, I. , & Momani, S. , “ The multistage homotopyperturbation method: A powerful scheme for handling the Lorenz system ”, Chaos, Solitons & Fractals, Vol.40, No.4, pp.1929~ 1937, 2009
    19. Shon, S. D. , Ha, J. H. , Lee, S. J. , & Kim, J. J. , “ Application of multistage homotopy perturbation method to the nonlinear space truss model ”, International Journal of Steel Structures, Vol.15, No.2, pp.335~346, 2015
    20. Dogonchi, A. S. , Alizadeh, M. , & Ganji, D. D. , “ Investigation of MHD Go-water nanofluid flow and heat transfer in a porous channel in the presence of thermal radiation effect ”, Advanced Powder Technology, Vol.28, No.7, pp.1815~1825, 2017
    21. Barrio, R. , Rodríguez, M. , Abad, A. , & Blesa, F. , “ Breaking the limits: The Taylor series method ”, Applied Mathematics and Computation, Vol.217, No.20, pp.7940~7954, 2011
    22. Shon, S. D. , Lee, S. J. , Ha, J. H. , & Cho, C. G. , “ Semi-Analytic Solution and Stability of a Space Truss Using a High-Order Taylor Series Method ”, Materials, Vol.8, No.5, pp.2400~2414, 2015