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ISSN : 1598-4095(Print)
ISSN : 2287-7401(Online)
Journal of The korean Association For Spatial Structures Vol.17 No.4 pp.141-148
DOI : https://doi.org/10.9712/KASS.2017.17.4.141

A Design Method of Tensegrity Units for Renovation Elements

Seung-Hye Lee*, Jaehong Lee**, Sung-Won Jung***
*Dept. of Architectural Engineering, Sejong University
**Dept. of Architectural Engineering, Sejong University
***Dept. of Architecture, Sejong University
02-3408-328902-3408-4331swjung@sejong.ac.kr
20171117 20171127 20171127

Abstract

In this study, an advanced form-finding method of tensegrity unit modules is presented to apply on renovation building. Here a fitness function of maximum natural frequency which can lead to a maximum stiffness status was used for a genetic algorithm. To apply the lightweight pin-jointed structure to the renovation project is more economical over to build new structures. In this paper, two types of tensegrity unit are presented to build expanded structures, and their force densities are shown using the proposed form-finding method. The expanded structures which may influence renovation projects are presented by using the tensegrity units.


리모델링 부재 적용을 위한 텐세그리티 유닛 설계기법

이승혜*, 이 재 홍**, 정 성 원***
*주저자, 정회원, 세종대학교 건축공학과 조교수, 공학박사
**정회원, 세종대학교 건축공학과 교수, 공학박사
***교신저자, 정회원, 세종대학교 건축학과 교수, 공학박사

초록


    1.서론

    지속된 건설 경기 침체로 재건축, 재개발 등 건물 을 부수고 새로 짓는 방식의 주거환경 개선사업들 이 점점 사업성을 잃어가고 있다. 이 시점에서 리모 델링 관련 법안과 정책들이 수립되고, 리모델링 사 업이 진행되는 등 주거환경 개선을 위한 건설 시장 의 변화가 발생하고 있다. 기존 리모델링 방식 중 하나인 기본 골조만 남기고 모두 다시 설비하는 추 진 성향은 비용 부담 증가 및 건축 폐기물의 대량 발생의 한계가 있었다. 또한 건물에 대한 새로운 설 계 시 부재의 중량에 대한 부담으로 증축 및 확장에 어려움이 예상된다. 건축부재의 경량화 및 고강도화 는 리모델링 방식의 다양성을 위해 꼭 필요한 조건 이다. 프리스트레스 핀 접합 구조물(Prestressed pin-jointed structure)이 갖는 중량 대비 큰 강성은 이와 같은 요구사항에 최적이라 할 수 있다.

    프리스트레스 핀 접합 구조물 중 하나인 텐세그 리티(Tensegrity) 시스템은 안정 상태를 위해 압축 력 혹은 인장력을 가하게 되며, 이러한 프리스트레 스는 구조물의 강성을 증가시켜 더욱 안전하고 경 제적인 구조물을 구성할 수 있다. 또한 텐세그리티 모듈을 연결하여 대공간 구조물의 지붕을 덮는 형 식이나, 기존 구조물에 부착이 어려운 태양광 패널 의 하부 지지대로의 사용, 또는 모듈을 상부 방향으 로 적층 수직 구조물을 구성하는 등의 다양한 활용 방안을 모색할 수 있다.

    자기응력(Self-stress)을 갖는 텐세그리티 시스템 (Tensegrity system)은 압축력을 받는 불연속의 압 축재(Strut)와 인장력을 받는 연속의 인장재(Cable) 의 평형상태로 안정을 유지한다. 텐세그리티 설계의 핵심은 평형상태의 형상과 그 때의 자기응력 값을 얻는 형상탐색(Form-finding) 과정이라 할 수 있다. 따라서 부재의 내력밀도를 구하는 Force-finding 과 정과 그에 대응하는 형상을 찾는 Shape-finding 과 정이 모두 수반되어야 진정한 형상탐색 과정이라 할 수 있다<Fig. 1>. 설계자 입장에서는 모든 절점 을 고정한 채 설계한 후 각 부재의 내력밀도를 구하 여 시공을 진행할 수도 있고, 또는 형상탐색을 통하 여 얻어진 새로운 형상과 내력밀도를 그대로 반영 하여 시공할 수도 있다.

    텐세그리티의 형상탐색에 관한 연구는 과거 수 십 년간 지속적으로 이루어져, 이 때 내력밀도법 (Force density method)1), 에너지법(Energy method)2), 몬테카를로법(Monte carlo method)3), 유 한요소법(Finite element method)4) 등 다양한 해석 기법이 사용되었다.

    본 논문에서는 리모델링 부재 적용을 위한 텐세 그리티 유닛을 제안하면서 설계를 위한 형상탐색 기법을 제안하였다. 내력밀도법은 형상탐색 과정에 서 선형방정식만 필요하기 때문에 매우 효과적이다. 만일 제약조건을 고려하여 형상탐색을 수행할 경우 그 조건에 맞는 가상의 부재(Dummy element)를 대입하여 문제를 해결할 수 있지만 적절한 부재를 설정하기 어렵다는 단점이 있다5). 따라서 본 논문에 서는 구조물이 최대 고유진동수를 갖는 상태에서 최대 강성을 얻을 수 있는 조건에 기반한 최적의 자기응력 값을 얻어내는 알고리즘을 개발하였다. 구조물의 접선강성행렬(Tangent stiffness matrix)과 밀도행렬을 결합한 비 감쇠 자유 진동(Undamped free vibration) 식을 고유 값 문제(Eigenvalue problem)로 풀어 고유진동수를 도출한다. 이때 유 전알고리즘(Genetic algorithm)을 사용하여 시스템 의 최대 고유 진동수 상태를 도출하였다. 수치해석 부분에서는 텐세그리티 유닛을 제안하였으며, 해석 후 내력밀도를 도출하였다. 본 유닛을 연결하여 사 용함으로써 수직 혹은 수평으로 확장된 텐세그리티 구조물을 구축할 수 있으며, 제안한 형상탐색 기법 을 사용하여 각 구조물의 내력밀도를 효과적으로 구할 수 있었다.

    2.기본정보

    2.1.내력밀도법

    내력밀도법은 식 (1)과 같이 부재의 내력을 그 길 이로 나눈 선형방정식을 사용한다.

    q k = f k l k
    (1)

    여기서, qkk부재의 내력밀도이며, fklk은 각 각 k부재의 내력과 길이를 뜻한다. 내력밀도 값을 사용하여 구조물의 내력밀도 행렬(Force density matrix) D 를 구할 수 있으며, 구성된 평형방정식 (Equilibrium equation)은 다음과 같다6).

    D [ x y z ] = [ 0 0 0 ]
    (2)

    식 (2)의 x,y,z 는 평형상태의 텐세그리티 구조물 의 각 절점의 좌표를 뜻한다.

    2.2.강성행렬

    접선강성행렬 KT 는 부재의 선형강성행렬(Linear stiffness matrix) KE 와 기하학강성행렬(Geometrical stiffness matrix) KG 의 합으로 나타낼 수 있 으며 다음 식과 같다6).(3)

    K ¯ T = K ¯ E + K ¯ G
    (3)

    접선강성행렬 KT 는 구조물의 비 감쇠 자유 진동 식을 구성하여 고유 값 문제를 도출할 수 있다.

    2.3.고유 값 문제

    구조물의 진동수를 구하는 비 감쇠 자유 진동 (Undamped free vibration)의 식은 다음과 같이 고 유 값 문제(Eigenvalue problem)로 나타낼 수 있다.

    [ K T ω 2 M ] u = 0
    (4)

    여기서 고유 값 ω 2 은 구조물의 진동수를 뜻하며 u 는 대응하는 고유 벡터(Eigenvector)로 변위를 뜻 한다. M 행렬은 전체 구조물의 질량 행렬(Global mass matrix)을 뜻한다.

    식 (4)를 사용하여 구조물의 고유진동주기를 도출 할 수 있으며 다음 장에서 서술하는 유전알고리즘 을 사용하여 고유진동주기를 최소로 하는 자기응력 값을 도출할 수 있다.

    3.유전알고리즘

    식 (4)의 변수를 텐세그리티의 각 부재의 내력밀 도로 설정하고 최대 고유진동수를 유도하면 구조물 의 최대 강성을 도출할 수 있다. 본 논문에서는 최 대 고유진동수 T를 유도하기 위해 유전알고리즘을 사용하였으며, 목적함수 식은 다음과 같다.

    Minimize : T = 2 π ω 0
    (5)

    식 (5)는 최대 고유진동수에 대응하는 최소 고유 주기 목적함수를 나타낸 것이다. 유전알고리즘의 반 복과정을 통해 최소의 목적함수를 이끌어 낼 수 있 다. 하지만 이 과정에서 텐세그리티의 평형은 담보 할 수 없다. 따라서 다음 식 (6)과 같은 제약조건을 부여함으로써 텐세그리티의 평형조건을 만족하는 최소 고유주기를 이끌어 낼 수 있다.

    Subject to : D [ x y z ] 0
    (6)

    식 (6)의 왼쪽 항은 식 (2)의 평형방정식을 의미하 며 오른쪽 항의 є0 는 허용오차(Tolerance)를 의미한 다.

    유전알고리즘을 해석하기 위한 주요 매개변수, 즉 최대 세대수(Maximum generation), 집단 크기 (Population size), 교배 확률(Crossover probability), 변수 범위는 다음과 같다.

    • 최대 세대수 : 100 - 1000

    • 집단 크기 : 10 - 100

    • 교배 확률 : 0.5

    • 변수 범위 : 스트럿 [-1, 0], 케이블 [0, 1]

    식 (6)의 허용오차는 0.001로 설정하였다.

    4.텐세그리티 유닛 및 수치해석

    텐세그리티 유닛의 수치해석을 위해 사용된 각 부재의 특성은 탄성계수 E, 단면적 A, 밀도 ρ값 모 두 1로 설정하였다. 이 후에 얻는 각 부재의 내력밀 도 값은 1번 부재의 내력밀도 값으로 나누어 비율 로 표시하였다.

    4.1.4-스트럿 텐세그리티 유닛

    4-스트럿 텐세그리티 유닛은 4개의 스트럿과 12개 의 케이블로 구성된다. 각 절점의 부재 연결은 <Fig. 2> 와 같다. 4-스트럿 텐세그리티 유닛은 하단부의 절 점 1, 2, 6, 7에서 또 상단부의 절점 3, 4, 5, 8에서 인접하는 동일한 유닛과의 연결이 가능하므로 네 방향 어느 쪽으로도 확장이 가능하다. 이러한 특성 은 대공간 구조물에 적용하기에 유용하다. 4-스트럿 텐세그리티 유닛은 절점을 고정하여 오직 부재의 내력밀도를 산출하는 Force-finding 과정을 수행하 였다. 이러한 과정은 리모델링 시에 기존의 구조부 재 크기에 맞추어 설계하는 방식으로 적합할 것이다.

    형상탐색을 수행하기 전에 모든 부재는 4개의 그 룹으로 분류하였으며, 동일 그룹 내 속하는 부재는 동일한 내력밀도 값을 얻도록 조건을 부여하였다. <Table 1>은 4-스트럿 텐세그리티 유닛의 그룹 별 부재 번호와 형상탐색 후 얻은 내력밀도 값을 나타 낸 것이다.

    <Table 1>에서 보이는 바와 같이 구조물의 최소 고유 주기 T는 0.48초를 얻었으며 이 때 부재의 내 력밀도는 그룹 1(Lower cable)이 1.0, 그룹 2(Upper cable)와 3(Bracing cable)이 2.0, 그리고 스트럿 (Strut) 부재는 -2.0을 얻었다. 이는 기존 연구7)와 비 교하였을 때 동일한 값이며 이로써 제안된 형상탐 색 기법의 정확성을 입증할 수 있다. 4-스트럿 텐세 그리티 유닛은 5장 유닛의 확장에서 다시 한 번 사 용하여 확장 구조물을 구성한다.

    4.2.삼각 텐세그리티 프리즘

    잘 알려진 삼각 텐세그리티 프리즘(Triangular tensegrity prism)은 3개의 스트럿과 9개의 케이블, 총 12개의 부재로 구성되어 있다8). 상부, 하부 모두 절점 3개의 삼각형 형태로 구성되어 상부 혹은 하 부 쪽으로 다수의 유닛을 연결하기에 적합하다. 각 절점의 연결 상태는 <Fig. 3>에 나타나 있다.

    삼각 텐세그리티 프리즘 유닛은 각 부재의 내력 밀도를 찾는 과정(Force-finding)과 그에 대응하는 형상을 얻는 과정(Shape-finding)이 동시에 이루어 지므로 각 절점이 고정된 채 부재의 내력밀도를 산 출한 4-스트럿 텐세그리티 유닛의 경우와 해석 방법 이 다르다. 따라서 삼각 텐세그리티 프리즘 유닛을 조합하여 확장 구조물을 구축할 시에는 형상탐색과 정을 거쳐 얻은 새로운 형태를 기존의 구조물에 적 용이 가능하도록 유닛의 개수를 조절해야 한다.

    <Table 2>는 형상탐색 후에 얻은 각 부재의 내력 밀도를 나타낸 것이다. 구조물의 최소 고유 주기 T 는 14.56초를 얻었으며 이 때 부재의 내력밀도는 1 그룹인 스트럿(Strut)은 -1.0, 2 그룹 케이블(Bracing cable)은 1.0, 그리고 상단과 하단의 삼각형을 구성 하는 케이블인 3 그룹(Other cable: top and bottom triangle cable)은 0.33을 얻을 수 있었다. 이 결과는 이전 연구(Tibert & Pellegrino, 2011)에서 제시한 결과인, 상·하단 케이블 대비 사재 케이블의 내력밀 도의 비율이 3 이라는 결과 값과 일치한다.

    또한 삼각 텐세그리티 프리즘은 각 부재의 내력 밀도를 찾는 과정(Force-finding)에 그에 대응하는 형상을 얻는 과정(Shape-finding)이 수반되는 것이 므로 최종 얻어진 형상은 <Fig. 4>에 나타내었다. 삼각 텐세그리티 프리즘 유닛 또한 다음 5장 유닛 의 확장 편에서 다시 한 번 다루도록 한다.

    5.유닛의 확장

    5.1.4-스트럿 텐세그리티 유닛의 확장

    <Fig. 5>는 4-스트럿 텐세그리티 유닛 5개를 x방 향으로 연결하여 얻은 확장 모델을 보여주고 있다. 다섯 모듈로 연결된 4-스트럿 텐세그리티 구조물은 20개의 스트럿 부재와 56개의 케이블로 총 76개의 부재 수를 가지고 있다. 기본 유닛에서 확장한 형태 는 다루어야 하는 부재수가 증가하여 유전알고리즘 내의 최대세대수를 1,000으로, 집단크기를 100으로 설정하고 해석을 수행하였다.

    <Table 3>은 확장된 4-스트럿 텐세그리티 구조물 의 형상탐색 결과를 나타내고 있다. 앞서 언급한 바 와 같이 각 부재의 내력밀도 값은 1번 부재의 내력 밀도 값으로 나누어 비율로 표시하였다. 모든 부재 는 총 4개의 그룹으로 나뉘어 수행되었으며, 12부터 15번 부재는 유닛 간 중첩된 부분의 케이블이라는 특성상 1번 그룹인 Lower cable과 다른 결과 값을 보였다. 1 그룹(12-15 부재 제외)을 제외한 모든 스 트럿과 케이블 부재는 1 그룹의 2배의 내력밀도 값 을 얻을 수 있었다. 구조물의 최소 고유 주기 T는 2.52초로 이 때 구조물의 최대강성을 이끌어 낼 수 있다. 동시에 제안된 알고리즘으로 부재의 내력밀도 도 얻을 수 있다.

    기존의 연구(Kebiche, 1999) 결과는 2개의 평형방 정식을 반복하여 수행함으로써 얻어지는 것으로 해 석시간 면에서 불리한 측면이 있었다. 또한 기존의 연구는 부재를 13개의 그룹으로 나누어 해석을 수 행하였으며, 고유 주기 또한 2.74초로 본 연구에서 얻은 고유 주기 값보다 높은 값을 보였다. 이는 본 연구에서 제안한 알고리즘을 사용하여 더 최소의 고유 주기를 이끌어 냈음을 의미하며, 동시에 더 좋 은 강성을 이끌어 냈음을 뜻한다. 또한 4개의 그룹 으로 나누어 진행된 형상탐색은 효율적인 내력밀도 세트를 이끌어 낼 수 있다.

    5.2.더블 T-3 프리즘 유닛

    더블 T-3 프리즘 유닛은 T-3 프리즘 텐세그리티 2개 를 상하로 적층한 형태이다<Fig. 6>. T-3 프리즘 텐 세그리티는 상부 방향으로 계속 적층하여 수직구조 물로 구성이 가능하다. 본 논문에서는 더블 T-3 프 리즘 유닛을 제안된 기법으로 형상탐색을 수행하였 다. T-3 프리즘 유닛은 총 18개의 케이블과 6개의 스트럿으로 구성되며 각 절점의 연결은 <Fig. 6>과 같다.

    <Table 4>는 제안된 형상탐색 기법으로 도출된 더블 T-3 프리즘 텐세그리티의 내력밀도 값을 나타 내었다. 본 예제는 T-3 프리즘 유닛 2개를 적층한 것으로 설계자가 더 많은 수의 유닛을 적층하기로 한다면 또 다시 해석을 수행하여 부재의 내력밀도 값과 대응하는 형상을 도출해야 한다.

    형상탐색 후에 얻은 최종 형상은 <Fig. 7>에 나타 내었다. <Fig. 7>의 형상은 <Fig. 6>의 (b)에서 보인 초기 연결 상태와 다른 모습을 보인다. 이것은 식 (1) 의 선형방정식에 따른 것으로 부재 내력에 따라 부 재의 길이가 변화한다는 것을 알 수가 있다. 결론적 으로 리모델링 구조물에 본 확장모델을 적용할 시 에는 대략적인 유닛의 수를 산정한 후 형상탐색을 수행하고 최종 형상대로 시공을 하되 기존 구조물 과의 이격거리만큼 신축이음(Expansion joint) 등을 두어 간격을 조절할 수 있다.

    6.결론

    본 논문에서는 구조물이 최대 고유진동수를 갖는 상태에서 최대 강성을 얻을 수 있는 조건에 기반한 최적의 자기응력 값을 얻어내는 형상탐색 기법을 제안하였다. 동시에 리모델링 구조물에 적용이 가능 한 경량 텐세그리티 형상을 제안하기 위하여 2가지 의 유닛 모델을 서술하였으며, 제안된 기법으로 형 상탐색을 수행하였다.

    2가지 유닛 모델은 4-스트럿 텐세그리티 유닛과 T-3 프리즘 유닛으로 모두 제안된 형상탐색 기법으 로 내력밀도를 구하였고, 기존 연구와의 비교에서 정확성을 입증하였다. 5장에서는 2가지 유닛 모델을 연결하여 구성한 확장 모델의 예를 서술하였으며, 제안된 형상탐색 기법으로 수행한 결과 기존 연구 보다 더 좋은 결과 값을 도출할 수 있었다.

    추후에는 더 큰 크기의 확장 유닛을 해석하여 가 상의 리모델링 사례와 접목한 설계결과를 도출하는 연구를 진행할 예정이다.

    감사의 글

    본 연구는 국토교통부 국토교통기술촉진연구사업의 연구비지원(17CTAP-C133446-01)에 의해 수행되었 습니다.

    Figure

    KASS-17-141_F1.gif

    Classification of form-finding method

    KASS-17-141_F2.gif

    The unit quadruplex module tensegrity

    KASS-17-141_F3.gif

    The connectivity of classic T-3 prism tensegrity

    KASS-17-141_F4.gif

    The obtained geometry of the double T-3 prism module tensegrity. Perspective view.

    KASS-17-141_F5.gif

    The five quadruplex module tensegrity grid

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    (a) The classic T-3 prism tensegrity and (b) the connectivity of the double T-3 prism tensegrity

    KASS-17-141_F7.gif

    The obtained geometry of the double T-3 prism module tensegrity. Perspective view.

    Table

    The force density results of the unit quadruplex module tensegrity

    The force density results of the T-3 prism tensegrity

    The force density results of the five quadruplex module tensegrity

    The force density results of the double T-3 prism unit

    Reference

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