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ISSN : 1598-4095(Print)
ISSN : 2287-7401(Online)
Journal of The korean Association For Spatial Structures Vol.15 No.2 pp.51-59
DOI : https://doi.org/10.9712/KASS.2015.15.2.051

A Study on the Shape Modeling and Structural Stability of an Icosahedron-typed Modular Dome

Su-Deok Shon*, Hyo-Jun Woo**, Seung-Jae Lee***
*School of Arch. Eng., Korea Univ. of Tech. & Education
**School of Arch. Eng., Korea Univ. of Tech. & Education
***School of Arch. Eng., Korea Univ. of Tech. & Education
Corresponding author, Korea University of Technology and Education, Building Engineering, professor, Ph.D. School of Arch. Eng., Korea Univ. of Tech. & Education Tel: 041-560-1334 Fax: 041-560-1224 leeseung@koreatech.ac.kr
December 29, 2014 February 5, 2015 March 2, 2015

Abstract

In this study, a shape design and an analysis considering structural stability were investigated to develop an icosahedron-based hemispherical modular dome. To design this modular dome, a program that can perform icosahedron shape modeling, modularization of joint connection members, and the analysis of structural stability was developed. Furthermore, based on the adopted numerical model, the eigen buckling mode, unstable behavior characteristics according to load vector, and the critical buckling load of the modular dome under uniformly distributed load and concentrated load were analyzed, and the resistance capacities of the structure according to different load vectors were compared. The analysis results for the modular dome suggest that the developed program can perform joint modeling for shape design as well as modular member design, and adequately expressed the nonlinear behaviors of tructured according to load conditions. The critical buckling load results also correctly reflected the characteristics of the load conditions. The uniformly distributed load was more advantageous to the structural stability than concentrated load.


정20면체 모듈러 돔의 형상모델링 및 구조안정성에 관한 연구

손 수 덕*, 우 효 준**, 이 승 재***
*정회원, 한국기술교육대학교 건축공학부 연구교수, 공학박사
**정회원, 한국기술교육대학교 건축공학부 대학원, 석사과정
***교신저자, 한국기술교육대학교 건축공학부 교수, 공학박사

초록


    Ministry of Science, ICT and Future Planning
    NRF 2014R1A2A1A01004473

    1.서 론

    공장에서 생산된 단위유닛을 현장에서 조립하여 건축하는 모듈러 시스템은 주거용으로 사용된 경우 주로 군사시설, 학교, 기숙사, 임시숙소 등의 용도로 사용되고 있다. 현장생산중심 건축물을 공장생산중 심 건축물로 공업화된 모듈러 건축은 개발된 단위 유닛의 양산과 현장조립을 통해 경제성 높은 건축 물을 생산할 수 있다.1) 대량생산이 가능한 모듈러 시스템들은 공기단축 및 원가절감이라는 장점과 더 불어 경량화로 인한 내진성능의 향상, 친환경성, 건 설안정성에 대한 장점도 많이 소개되고 있다. 특히 모듈러 건축물의 대부분 형태는 육면체의 박스형이 주를 이루며, 유닛을 이루는 부재의 성능향상을 위 한 개발과 유닛의 연결부에 대한 접합부 내력과 조 립용이성이 주요 주제로 다루어 졌다.2)-4) 그러나 곡 면형의 개발이나 연결방법이나 절접접합의 용이성 등에 대한 연구나 곡면구조물로 인한 구조내력과 안정성에 대한 연구는 아직 미비한 실정이다.

    단층 네트워크 돔이나 비정형 구조의 외피 디자 인에 사용되는 삼각형은 매우 유용한 패턴 중 하나 이고, 곡면을 형성하는 최소 다각형이기도 하다. 이 러한 삼각형으로 곡면을 덮는 것은 경제적이면서도 안정적인 형태를 구현할 수 있다. 이 중 정삼각형으 로 구면을 형성하는 기본도형 중에서 정20면체는 플라톤의 다섯 개의 기본 입체중 하나로 매우 안정 적인 구조물이다. 또한, 단일삼각형으로 표면을 덮 은 Buckminster Fuller의 지오데직 돔은 근래의 선 구자적인 역할을 한 성과이다. 이러한 장점에도 불 구하고 돔은 불안정이라는 특수한 역학적 문제를 해결해야만 설계가 가능하다.5)-8)

    돔이나 아치는 비교적 적은 자중으로 공간을 형 성할 수 있고, 네트워크로 구성된 부재의 균일한 저 항능력은 매우 효과적이다. 복층보다 단층 돔이 민 감한 불안정현상을 보이는 것으로 알려져 있으며, 초기조건에 대한 민감함과 불안정성에 대한 많은 연구가 많이 수행되었다. 기하학적 비선형성과 더불 어 부재 내부의 내력, 임계점, 불안정이라는 문제에 매우 많은 관심을 두고 많은 연구9)-13)가 진행되어 왔다. 등 간격 분할의 삼각형 네트워크 돔 설계는 높이와 직경에 따라서 결정되는 형상특성으로 인해 정삼각형만으로는 구성할 수 없으므로 최소 편차의 격자로 모델링하게 되었다. 자유 형상 구조물에서도 균일한 격자 모델링은 역학적 특성뿐 아니라 경제 적으로도 중요한 요인이 된다. 즉, 좋은 격자구조는 구조적으로 안정하면서 최소의 재료로 제작된다.14) 이러한 많은 연구에서 불안정 현상은 형상, 즉 라이 즈-스팬에 영향을 많이 받으며, 근래에는 얕은 돔이 연구주제15)-19)로 많이 다루어졌다. 그러나 상대적으 로 얕지 않은 돔의 연구는 미비하였다.

    따라서 본 논문에서는 20면체 도형 기반의 모듈 러 돔을 설계하는 프로세스와 구조불안정성에 대해 연구였다. 이를 위하여 20면체 돔의 유닛 및 절점에 대한 모델링과 해석 프로그램을 다루었으며, 해석결 과에 대한 고유좌굴모드와 임계좌굴하중의 변화를 분석하였다. 논문의 구성은 2장에서 20면체 기반 돔 구조물의 유닛을, 3장에서 비선형 해석, 4장에서는 대상모델의 불안정 거동과 임계하중에 대해서 고찰 하였다. 마지막으로 5장에서 채택된 예제의 해석 결 과를 바탕으로 결론을 도출하였다.

    2.모듈러 돔 설계/해석 프로세스

    2.1.정20면체(Icosahedron) 형상모델링

    정20면체는 <Fig. 1>과 같다. 여기서 12개의 꼭짓 점은 그림에서 A ~ L 로 표기하였다.

    내부 오각형 좌표는 원주를 오등분한 점과 같고, 복소방정식 z5 = 1 의 해와 동치이며 다음과 같다.

    cos 2 k π 5 , sin 2 k π 5 , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4
    (1)

    α = 2π/ 5 로 두면, sin (5α) = sin (2kπ) = 0 이 며, 삼각함수 합곱공식으로 다음 관계를 얻는다.

    sin 5 α = sin α cos 4 α + cos α sin 4 α
    (2)

    sin (α)에 대한 4차방정식의 근은 다음과 같고, 제곱공식으로부터 cos (α) 를 구할 수 있다.

    sin α = ± 5 ± 5 8
    (3)

    위 값들을 이용하여 <Fig. 1(b)>의 위쪽 오각형 좌표 PC, PD, PE, PF,PB = (1, 0) 를 기준으 로 계산할 수 있으며, PG = -PB 의 관계와 대칭인 점을 고려하면 꼭지점 좌표 PH, PI, PJ, PK,를 쉽게 구할 수 있다. 이러한 관계들에 대해서 12개의 꼭짓점의 Z방향 좌표점들은 대칭성과 구형 도면에 위치하는 기하학적 조건으로 얻을 수 있다. 즉, VA = (0, 0, 1)VL = -VA = (0, 0, -1) 로 정의된 절점을 기준으로 내부 오각형 절점의 높이에 대한 회전각 θ0의 여현을 모든 변의 길이가 일정하다는 조건으로 계산하면 다음과 같다.

    cos θ 0 = 2 5 , sin θ 0 = 1 5
    (4)

    이상의 관계와 좌표변환행렬을 이용하면 각 꼭짓 점의 Z방향 좌표값을 계산할 수 있다.

    2.2모듈러 돔의 기하학적 단위유닛

    정20면체 꼭짓점으로부터 각 모서리면의 1/3지점 을 분할할 경우 <Fig. 2>에서 보는 것과 같이 육각 분할도형과 오각뿔 유닛으로 모듈화 할 수 있다.

    우선, 단위 삼각형에 대한 육각분할과 오각뿔 모 듈의 연결은 <Fig. 3>과 같이 곡률이 고려되지 않은 20면체기반 돔(ICosahedron-based Dome: ICD)을 생성할 수 있다. ICD 모델의 설계는 그림에서 보는 바와 같이 두 도형을 유닛화함으로 모듈화가 가능 하며, 절점도 이에 상응하여 발생한다. 형상정의에 따라 각 절점의 좌표가 계산되고, 모두 41개의 절점 과, 60개의 정삼각형 모델링 요소 및 100개의 격자 네트워크 요소로 구성된다. ICD 모델의 특성은 하 나의 삼각형과 3개의 절점으로 모듈화가 가능하다.

    이제 반구형 돔을 형성하기 위해서 모든 절점을 중심으로부터 동일한 거리에 위치하도록 모델링을 하면 <Fig. 4>와 같다. ICD 모델과는 달리 모든 절 점이 구면의 중심에 위치하도록 수정된 ICD 모델 (이하 MICD 모델이라 한다.)은 오각뿔과 육각뿔 유 닛으로 구성되지만 ICD 모델과 마찬가지로 절점유 닛의 개수는 동일하다. 또한 그림에 나타난 단위길 이 lu 에 의해 조절된 절점은 오각뿔 내부부재의 길 이가 짧아지고 육각뿔 내부부재 길이는 길어지는 효과가 있다. 오각뿔과 육각뿔의 공간구조에서는 항 상 불안정한 현상이 나타나며, 단층 돔에서 나타나 는 뜀좌굴 및 분기좌굴이 발생한다.

    2.3.MICD 모델의 절점 유닛과 모형

    기본도형의 경우 삼각형 기반으로 오각 및 육각 뿔 모양의 결합도형이 주 형상이 된다. 절점의 모듈 화를 위해서 세 개의 각도에 따른 그리고 인접 다각 형의 조건에 따라 오각형 절점 및 육각형 절점 유닛 을 모듈화 하였다. 그림에서 오각형 절점의 경우 오 각뿔의 중앙에 위치한 절점으로 각도가 일정하여 설계 및 제작하기 간편하다. 그러나 육각절점의 경 우 두 가지 경우가 발생하는데 육각뿔의 정점과 오 각형과 육각형 모듈이 겹쳐지는 절점에서의 제작 각도가 같게 나타난다.

    이와 같은 과정의 프로세스를 통해서 <Fig. 5> 과 같은 시험 조형물을 설계할 수 있었으며, 그림에 서 보는 바와 같이 3차원 상에서 모델링한 결과와 유닛화한 절점과 부재를 조립한 결과 형상은 잘 일 치하고 있다. 실 축척 모델의 절점은 크기가 증가하 더라도 각도의 변화가 없으므로 동일한 크기로 제 작할 수 있으며, 오각 및 육각 유닛의 제작된 모듈 을 이용하여 조합할 수 있다. 주의할 점은 하부기둥 의 연결부를 위한 제작철물의 접합에서 전체형상의 왜곡이 발생하지 않도록 조립되어야 한다. 부재의 길이 조절은 절점에서 제작 시 필요한 여유를 제외 하고 매우 정밀하게 제작될 필요성이 있으며, 삼각 형 솔라패널과 같은 마감재의 다양한 활용으로 친 환경 구조물을 구현할 수도 있다.

    MICD의 모델링 프로세스를 고려하여 설계/해석 프로그램을 개발하였으며, 해석을 통해 모델의 정 보, 그래픽파일, 비선형해석결과가 제공되며, 임계 좌굴하중과 좌굴모드가 출력된다.

    3.비선형 강성행렬과 불안정 판별

    격자 돔 불안정 현상은 부재, 절점 및 전체좌굴로 나타나며15), 구조체가 복잡할수록 매우 복잡하다. 이러한 현상을 관찰하고 판별하기 위해서는 비선형 해석이 필요하며, 접선강성행렬을 구하기 위해서는 공간 트러스의 기하학적 비선형성을 고려하여 증분 형 방정식을 유도해야 한다.

    본 논문에서는 3자유도 공간 트러스요소를 이용 하여 해석을 수행하였으며, 비선형 평형경로를 얻 기 위한방정식의 자유도는 전형적인 변환변위 di = {ui vi wi}T 가 이용되며, 라그랑주 형상함수 Ni, Nj 을 이용하여 변위함수를 가정하면 식(5)와 같다. 여기서 요소좌표계 및 전체좌표계는 각각 (x, y, z), (X, Y, Z) 로 정의하였고, 하중벡터 fi 는 절 점변위에 대응하는 성분으로 구성된다.

    u x = N i I . . . N j I d
    (5)

    기하학적 비선형성은 변형도-변위관계식에서 베 르누이-오일러 가정에 근거하여 2차 항을 포함함으 로서 대 변위 해석이 가능하게 되며, 식(6)과 같다. 여기서 (‥,x)는 x에 관한 편미분이다.

    x = A 1 d + 1 2 d T B T Bd
    (6)

    여기서, A1 = [Ni, x 0 0 ⋮ Nj, x 0 0]

    B = [Ni, x I ⋮ Nj, x I]

    응력-변형도 관계는 σ = E ϵ 로 탄성영역만을 고 려하기로 한다. 변형율이 비교적 작을 때는 고려하 지 않았던 2차항을 고려와 가상일의 원리를 적용하 여 접선강성행렬을 유도하면 식(7)과 같고, 좌표변 환행렬을 이용해서 구조물의 전체좌표계에 대한 접 선강성행렬로 표현할 수 있다. 여기서 첫 번째 항은 탄성강성행렬이고, 두 번째는 기하학적 강성행렬이 고, σx(0)는 이전단계의 응력이다.

    k = k e + k g = ALE A 1 T A 1 + AL σ x 0 B T B
    (7)

    위 식의 ke와 kg는 각각 탄성, 기하강성행렬이다. 좌표변환행렬 T 를 이용하여 다음 식과 같이 표현 할 수 있다.7),8),20)

    Δ F Δ R = T T k e + k g T Δ d = K Δ D
    (8)

    여기서, ΔF, ΔD, ΔR 는 전체좌표계에서의 값을 의미하며, ΔR 은 고차항을 소거함으로서 발생하는 불평형력에 해당된다.

    비선형 평형경로의 불안정점은 각 증분구간에서 의 접선강성행렬과 고유치를 이용하여 임계점을 구 분할 수 있으며, 가장 일반적인 방법이다. 접선강성 행렬 K는 보존계에서 대칭행렬이고, 서로 직교하는 변환행렬이 존재하므로 대각화가 가능하다. K의 n 개의 고유치 ci에 대응하는 정규고유벡터를 υi라 할 때, υi을 열벡터로 하는 직교행렬V 를 이용하여 변 위벡터를 변환하고, 최소고유치에 해당하는 고유벡 터 υ1T 를 곱하면 다음과 같다.

    υ 1 T K V u . + υ 1 T f λ . = 0
    (9)

    여기서, λ는 하중파라메타이다. 위 식에서 특이점 은 |K | 가 0이므로 좌변의 첫 번째 항은 소거되므로 임계점은 두 번째 항에서 다음 식과 같은 두 조건으 로 구분된다.

    υ 1 T f 0 , λ . = 0
    (10)
    υ 1 T f = 0
    (11)

    여기서, υ1 ∙ f는 최소 고유치 c1에 대응하는 고 유벡터 υ1와 하중모드 f간의 내적을 말하며, 0일 경 우는 서로 직교함을 의미한다. 따라서 전자는 극한 점을 의미하고, 후자는 분기점을 의미한다. 또한 분 기점에서 λ . = 0 일 때가 대칭분기, λ . 0 일 때가 비대칭 분기점으로 세분할 수 있다.5),7)

    4.MICD 모델의 불안정성과 임계하중

    본 절에서는 연구대상 모델인 <Fig. 6>의 MICD 모델에 대해서 구조 불안정성을 검토하도록 한다. 형상과 모델링은 2장에서 설명한 바와 같고, 절점 및 부재번호는 <Fig. 7>과 같다. 생성된 절점좌표는 <Table 1>과 같고, 구조물의 높이는 3.07904m이며, 가장 바깥쪽 10개의 절점이 고정된 것으로 가정하 였다. 모델의 단위유닛인 오각뿔 및 육각뿔 내부 삼 각형면적은 각각 0.79253m2, 1.0027m2이다. 모델의 부재는 탄성계수 E = 2.05 × 105 Mpa , 단면적 A = 4.564 cm2이다. 하중벡터는 모든 절점에 동일 한 하중이 작용한 경우(U)와 중앙부 여섯 절점만 하 중이 작용하는 경우(C)로 가정하였다.

    4.1.MICD 모델의 고유좌굴모드

    돔 구조물의 고유모드를 알아보기 위해서 초기형 상에 대한 고유치해석을 수행하였다. 수행결과는 <Fig. 8>과 같고, MICD 모델의 최 저차의 세 가지 고유모드 형상만을 나열하였다. 그림에서 보는바와 같이 돔 구조물의 꼭짓점에서 가장 크게 형상이 변 하였고, 처음 두 모드는 대칭이며, 세 번째 모드는 중앙부의 변위벡터가 작게 나타났다.

    4.2.비선형 거동과 임계좌굴하중

    구조물의 불안정 거동을 살펴보기 위해서 비선형 해석을 수행하였으며, 절점의 하중과 변위의 평형 경로를 살펴보았다. 평형경로 상에서의 임계점과 극 한점을 접선강성행렬의 특성과 고유치를 통해서 구 하였으며, 등분포 하중(MICD-U)의 결과를 <Fig. 9> 에, 중앙부 집중하중(MICD-C)의 결과를 <Fig. 10> 에 나타내었다. 두 모델 모두 중앙부에서 뜀좌굴현 상이 나타나며, 임계점(Pcr)은 극한점(Plim )이전에 나타나고 있다. 여기서 중앙부 절점 거동은 이와 연 결된 오각형의 절점에 영향을 주어 변위가 역행하 는(Snap-back)현상이 나타나고 있으며, 얕은 공간 구조물에서 쉽게 볼 수 있는 현상이다.

    대상구조물의 외부 하중조건에 따라 달라지는 양 상은 경계주변의 절점거동에서 살펴볼 수 있다. <Fig. 11>은 경계부의 2번과 8번 절점의 Z방향 변 위를 나타낸 것으로 MICD-U의 경우 변위진행방향 이 동일한 반면 MICD-C에서는 반대방향으로 진행 된다.

    하중조건에 따른 두 모델의 임계하중은 <Table 2>에 나타난 것과 같다. 여기서 두 모델의 절점에 대한 임계하중 Pcr은 MICD-C가 높아 보이지만 전 체 저항할 수 있는 크기로 나타내면 MICD-U 모델 이 더 크게 나타난다. 이것은 등분포하중보다 집중 하중의 경우가 구조물에는 더 위험하다는 것을 의 미하며, MICD-U는 MICD-C에 비해 4배 이상의 안 전성을 가진 것으로 판단된다

    5.결 론

    본 논문은 정20면체 모듈러 돔의 설계와 구조불 안정성에 대해서 연구하였다. 이를 위하여 정20면체 의 형상 및 모델링기법을 개발하고 프로그래밍 하 였으며, 비선형 해석을 통한 구조물의 거동분석과 임계좌굴하중의 변화를 살펴보았다. 동일한 부재단 면적을 갖는 모델을 대상으로 해석을 수행하였으며, 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.

    1. 본 연구에서 제안된 정20면체 기반의 모듈러 돔 은 6개의 오각뿔과 5개의 육각뿔로 모델링 되며, 3가지 종류의 절점유닛과 3가지 종류의 부재유 닛으로 간단하게 설계 및 시공할 수 있었다. 모 델링 프로세스를 이용한 프로그램의 결과는 제 작된 형상을 잘 반영하였으며, 비선형 해석결과 는 두 하중조건에 따른 구조물의 비선형 거동을 비교적 잘 표현해 주었다.

    2. 해석대상모델인 정20면체형 모듈러 돔은 꼭짓점 에 집중하중이 작용하는 경우가 등분포하중이 작용하는 경우에 비해서 좌굴절점의 하중레벨이 크게 나타난 반면 전체임계하중의 총합은 등분 포가 작용하는 모델에서 크게 나타났다. 이 결과 는 가정되어진 하중의 특성을 잘 반영해 주는 것 으로 판단되며, 꼭짓점에 집중하중이 구조물의 안정성에 더 불리하게 작용되는 것으로 판단된 다.

    모듈러 돔의 경우 절점의 강성에 따라 구조물의 임계하중에 많은 차이가 있으므로 추후 절점강성에 대한 해석적 연구가 더 필요하다고 사료된다.

    Figure

    KASS-15-51_F1.gif

    Shape of an Icosahedron

    KASS-15-51_F2.gif

    Triangular Unit of an Icosahedron

    KASS-15-51_F3.gif

    Icosahedron-based dome

    KASS-15-51_F4.gif

    Modified Icosahedron-based dome

    KASS-15-51_F5.gif

    Nodal module of a MICD

    KASS-15-51_F6.gif

    Construction process of a MICD

    KASS-15-51_F7.gif

    Number of Node and Element

    KASS-15-51_F8.gif

    Eigen modes of a MICD model

    KASS-15-51_F9.gif

    Displ.-Force Curve and Critical Load(Pcr) (MICD_U model)

    KASS-15-51_F10.gif

    Displ.-Force Curve and Critical Load(Pcr) (MICD_C model)

    KASS-15-51_F11.gif

    Displ.-Force Curve and Critical Load(Pcr) (node 2 and 8-Dz)

    Table

    Coordinate of a MICD model

    Critical Load Level (Unit: kN)

    Reference

    1. Kim JH , Park IM (2013) The Practical Application of Modular Construction for Residential Facilities , Journal of the Korean Housing Association, Vol.24 (3) ; pp. 19-26
    2. Hong SG , Cho BH , Chung KS , Moon JH (2011) Behavior of framed modular building system with double skin steel panels , Journal of Constructional Steel Research, Vol.67; pp.936-946
    3. Ha TH , Cho BH , Kim TH , Lee DY , Eom TS (2013) Earthquake Resistance of Modular Building Unit Using Load-Bearing Steel Stud Panels , Journal of Korean Society of Steel Construction, Vol.25 (5) ; pp. 519-530
    4. Lee SS , Bae KW , Park KS , Hong SY (2013) An Experimental Evaluation of Structural Performance for the Beam to Column Joint in Unit Modular System , Journal of Korean Society of Steel Construction, Vol.25 (3) ; pp. 255-265
    5. Choong KK , Hangai Y (1993) Review on methods of bifurcation analysis for geometrically nonlinear structures , Bulletin of the International Association for Shell and Spatial structures, Vol.34 (112) ; pp. 133-149
    6. Choong KK , Kim JY (2001) A numerical strategy for computing the stability boundaries for multi-loading systems by using generalized inverse and continuation method , Engineering Structures, Vol.23; pp.715-724
    7. Shon SD , Kim SD , Lee SJ , Kim JS (2011) A study on the critical point and bifurcation according to load mode of dome-typed space frame structures , Journal of Korean Association for Spatial Structures, Vol.11 (1) ; pp. 121-130
    8. Shon SD , Lee SJ (2013) Critical load and effective buckling length factor of dome-typed space frame accordance with variation of member rigidity , Journal of Korean Association for Spatial Structures, Vol.13 (1) ; pp. 87-96
    9. El-Sheikh A (1998) Design of space truss structures , Structural Engineering and Mechanics, Vol.6 (2) ; pp. 185-200
    10. Huseyin K (1973) The multi-parameter perturbation technique for the analysis of nonlinear system , International Journal of Nonlinear Mechanics, Vol.8 (5) ; pp. 431-443
    11. Bergan PG (1980) Solution algorithms for nonlinear structural problems , Computers and Structures, Vol.12; pp.497-509
    12. Kim JK , Han SE (1998) The geometrically nonlinear analysis of single layer latticed domes by mode superposition method , Journal of Architectural Institute of Korea - Structure & Construction, Vol.14 (4) ; pp. 317-325
    13. Jung HM (1997) An effect of equipment-loading on the buckling characteristics of single-layer latticed domes , Journal of Korean society of steel construction, Vol.9 (3) ; pp. 323- 332
    14. Lee SJ , Shon SD (2014) A study on regular traingular mesh modeling of network dome using differential evolution algorithm“ , Journal of Architecture Institute of Korea (Structure), Vol.30 (5) ; pp. 13-20
    15. Abedi K , Parke GAR (1991) Progressive collapse of single-layer braced domes , International Journal of Space Structures, Vol.11 (3) ; pp. 291-306
    16. Kato S , Mutoh I , Shomura M (1994) Effect in joint rigidity on buckling strength of single layer lattice dome , Bulletin of the International Association for Shell and Spatial Structures, Vol.35 (115) ; pp. 101-109
    17. Bulenda Th , Knippers J (2001) Stability of grid shells , Computers and Structures, Vol.79; pp.1161-1174
    18. Lopez A , Puente I , Serna MA (2007) Numerical model and experimental tests on single-layer latticed domes with semi-rigid joints , Computers and Structures, Vol.85; pp.360-374
    19. Yamada S , Matsumoto Y , Sakamoto A , Croll JGA (2011) Design estimation method of buckling load and the associated mode for single layer lattice dome roof with square plan , Proceeding of the IABSE-IASS 2011 symposium London, Vol.72;
    20. Kim NS , Shon SD , Kim SD (2008) A study on the Unstable behavior according to load and boundary condition of shelled space frame structures , Proceedings of KASS symposium 2008, Vol.5 (1) ; pp. 80-85